Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，拋物線的對稱軸交軸于點D，已知A(-1，0)，C(0，2) .

（1）求拋物線的解析式；

（2）點E是線段BC上的一個動點（不與B、C重合），過點E作軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時點E的坐標.

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為 ；（2）當x=2時，S有最大值為， E(2,1)；（3）P點坐標為（， ）（， ）（，-4）.

【解析】（1）將A(-1，0)，C(0，2)代入拋物線解析式得 ，解得，

∴拋物線解析式為 ；

（2）由 ，可知對稱軸為直線 ，∴D(,0) ，

令y=0，則，

解得

∴B(4,0) ，

設直線BC的解析式為y=kx+b,

將B、C點坐標代入得，解得，

∴直線BC的解析式為，

設F(x,y)，EF⊥x軸于點H，則H（x,0），

∴梯形COHF的面積S1=，

Rt△BHF的面積S2=，

Rt△OCD的面積S3=，

∴四邊形CDBF的面積S=S1+S2-S3= ，

又∵F在拋物線上

∴將代入S得S=，

∵S是關于x的二次函數，a=-1＜0，

∴當x=2時，S有最大值為，

此時E點的橫坐標x=2，

∵E點在直線BC上，

∴ ，∴E(2,1)；

（3）P點坐標為（， ）（， ）（，-4）.