Question

【題目】如圖，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，點P在AC上，將△ABP繞頂點B沿順時針方向旋轉90°后得到△CBQ.

(1)求∠PCQ的度數;

(2)當AB=4，AP：BP=1：3時，求PQ的長；

(3)當點P在線段AC上運動時(P不與A、C重合)，請寫出一個反映PA2、PC2、PB2之間關系的等式，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）∠PCQ=90°；（2）PQ=；（3）2PB2=PA2+PC2.

【解析】試題分析：（1）由于∠PCB=∠BCQ=45°，故有∠PCQ=90°．

（2）由等腰直角三角形的性質得到AC的長，根據已知條件，可求得AP，PC的值，再由勾股定理求得PQ的值．

（3）由于△PBQ也是等腰直角三角形，故有PQ2=2PB2=PA2+PC2．

試題解析：解：（1）由題意知，△ABP≌△CQB，∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45°，∠ABP=∠CPQ，AP=CQ，PB=BQ，∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°，∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90°，∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形；

（2）當AB=4，AP：PC=1：3時，有AC=，AP=，PC=，∴PQ= =；

（3）存在2PB2=PA2+PC2．證明如下：

∵△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ=PB，∵AP=CQ，∴PQ2=PC2+CQ2=PA2+PC2，故有2PB2=PA2+PC2．