Question

【題目】如圖，已知直角坐標系中一條圓弧經過正方形網格的格點A，B，C．

（1）用直尺畫出該圓弧所在圓的圓心M的位置；
（2）若A點的坐標為（0，4），D點的坐標為（7，0），試驗證點D是否在經過點A，B，C的拋物線上；
（3）在（2）的條件下，求證：直線CD是⊙M的切線．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，點M即為所求

（2）解：由A（0，4），可得小正方形的邊長為1，從而B（4，4）、C（6，2）

設經過點A、B、C的拋物線的解析式為y=ax2+bx+4

依題意 ，解得

所以經過點A、B、C的拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+4

把點D（7，0）的橫坐標x=7代入上述解析式，得

所以點D不在經過A、B、C的拋物線上；

（3）證明：如圖，設過C點與x軸垂直的直線與x軸的交點為E，連接MC，作直線CD

∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5

在Rt△CEM中，∠CEM=90°

∴MC2=ME2+CE2=42+22=20

在Rt△CED中，∠CED=90°

∴CD2=ED2+CE2=12+22=5

∴MD2=MC2+CD2

∴∠MCD=90°

∵MC為半徑

∴直線CD是⊙M的切線

【解析】（1）根據垂徑定理的知識解答此題。
（2）觀察圖形，由點A的坐標，得到點B、C的坐標，用待定系數法求出拋物線的解析式，將x=7代入即可得出結果。
（3）要證直線CD是⊙M的切線．就需證明∠MCD=90°，運用勾股定理先分別求出MC2、CD2、MD2，再用勾股定理的逆定理去判定∠MCD是否為直角即可。
【考點精析】關于本題考查的垂徑定理和確定圓的條件，需要了解垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；不在同一直線上的三點確定一個圓才能得出正確答案．