Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點，以E為圓心，EC為半徑的半圓與以A為圓心AB為半徑的圓弧相外切于點F，若AB＝4，

(1)求半圓E的半徑r的長；

(2)求四邊形ADCE的面積；

(3)連接DB、DF，設∠BDF＝α，∠AEC＝β，求證：β－2α＝90°．

Answer 1

【答案】(1)1；(2)10；(3)證明見解析．

【解析】分析：

（1）根據正方形的性質求出AB、AE、BE的長，在Rt△ABE中根據勾股定理得出方程，求出方程的解即可；

（2）根據梯形的面積公式求出即可；

（3）根據三角形的外角性質求出β=∠BAE+90°，根據圓周角定理得出∠BDF=∠BAE，代入求出即可．

本題解析：

(1)在Rt△ABE中，AB=BC=AF=AD=DC=4，

BE=BCCE=4r，AE=BF+EF=4+r，

∵AE=AB+BE，

∴(4+r)=4+(4r)，

解得：r=1，

答：半E的半徑r的長是1.

(2)梯形ADCE的面積是S=DC(AD+CE)= ×4×(4+1)=10，

答：四邊形ADCE的面積是10.

(3)證明：∵∠AEC是Rt△ABE的外角,

∴β=∠BAE+90°，

∵∠BDF=∠BAE，

∴α=∠BAE，

即∠BAE=2α，

∴β=2α+90°，

即β2α=90°.