Question

【題目】如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD＝12，AB＝9，E是BC上的點，以AE為折痕折疊紙片，使點B落在點F處，連接FC，當△EFC為直角三角形時，BE的長為_____．

Answer 1

【答案】或9

【解析】

當△CEF為直角三角形時，有兩種情況：①當點F落在矩形內部時，如圖1所示．連結AC，先利用勾股定理計算出AC=15，根據折疊的性質得∠AFE=∠B=90°，而當△CEF為直角三角形時，只能得到∠EFC=90°，所以點 A、F、C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點F處，則EB=EF，AB=AF=9，可計算出CF=6，設BE=x，則EF=x，CE=12-x，然后在Rt△CEF中運用勾股定理可計算出x．②當點F落在AD邊上時，如圖2所示．此時四邊形ABEF為正方形，易得BE．

解：當△CEF為直角三角形時，有兩種情況：

①當點F落在矩形內部時，如圖1所示．

連結AC，

在Rt△ABC中，AB=9，BC=12，

∴AC==15，

∵∠B沿AE折疊，使點B落在點F處，

∴∠AFE=∠B=90°，

當△CEF為直角三角形時，只能得到∠EFC=90°，

∴點A、F、C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點F處，如圖，

∴EB=EF，AB=AF=9，

∴CF=15-9=6，

設BE=x，則EF=x，CE=12-x，

在Rt△CEF中，

∵EF2+CF2=CE2，

∴x2+62=（12-x）2，

解得x=，

∴BE=；

②當點F落在AD邊上時，如圖2所示．

此時ABEF為正方形，

∴BE=AB=9．

綜上所述，BE的長為或9．

故答案為或9．