Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點A的坐標為（﹣1，0），且OC＝OB，tan∠OAC＝4．

（1）求拋物線的解析式：

（2）若點D和點C關于拋物線的對稱軸對稱，直線AD下方的拋物線上有一點P，過點P作PH⊥AD于點H，作PM平行于y軸交直線AD于點M，交x軸于點E，求△PHM的周長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4；（2）△MPH的周長的最大值為．

【解析】

（1）先由銳角三角函數的定義求得C的坐標，從而得到點B的坐標，設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），將點C的坐標代入求解即可；

（2）先求得拋物線的對稱軸，從而得到點D（3，-4），然后可求得直線AD的解析式y=-x-1，故∠BAD=45°，接下來證明△PMD為等腰直角三角形，所當PM有最大值時三角形的周長最大，設P（a，a2-3a-4），M（-a-1），則PM=-a2+2a+3，然后利用配方可求得PM的最大值，最后根據△MPH的周長=求解即可．

（1）∵點A的坐標為（﹣1，0），

∴OA＝1．

又∵tan∠OAC＝4，

∴OC＝4，

∴C（0，﹣4）．

∵OC＝OB，

∴OB＝4，

∴B（4，0）．

設拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4），

∵將x＝0，y＝﹣4代入得：﹣4a＝﹣4，解得a＝1，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣3x﹣4．

（2）∵拋物線的對稱軸為 ，C（0，﹣4），

∵點D和點C關于拋物線的對稱軸對稱，

∴D（3，﹣4），

設直線AD的解析式為y＝kx+b．

∵將A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得 ，

解得k＝﹣1，b＝﹣1，

∴直線AD的解析式y＝﹣x﹣1．

∵直線AD的一次項系數k＝﹣1，

∴∠BAD＝45°．

∵PM平行于y軸，

∴∠AEP＝90°，

∴∠PMH＝∠AME＝45°．

∴△MPH的周長＝，

設P（a，a2﹣3a﹣4），則M（a，﹣a﹣1），

則PM═﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）＝﹣a2+2a+3＝﹣（a﹣1）2+4．

∴當a＝1時，PM有最大值，最大值為4．

∴△MPH的周長的最大值＝．