Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于M，交AC于N．
（1）若∠ABC=70°，則∠MNA的度數是 ．
（2）連接NB，若AB=8cm，△NBC的周長是14cm． ①求BC的長；
②在直線MN上是否存在P，使由P、B、C構成的△PBC的周長值最小？若存在，標出點P的位置并求△PBC的周長最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）50°
（2）解：①∵AN=BN，

∴BN+CN=AN+CN=AC，

∵AB=AC=8cm，

∴BN+CN=8cm，

∵△NBC的周長是14cm．

∴BC=14﹣8=6cm．

②∵A、B關于直線MN對稱，

∴連接AC與MN的交點即為所求的P點，此時P和N重合，

即△BNC的周長就是△PBC的周長最小值，

∴△PBC的周長最小值為14cm

【解析】解：（1）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=40°，
∵MN是AB的垂直平分線，
∴AN=BN，
∴∠ABN=∠A=40°，
∴∠ANB=100°，
∴∠MNA=50°；
所以答案是50°．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解線段垂直平分線的性質的相關知識，掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等，以及對等腰三角形的性質的理解，了解等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．