Question

【題目】已知：點A、C、B不在同一條直線上，AD∥BE．

（1）如圖①，當∠A=48°，∠B=128°時，求∠C的度數；

（2）如圖②，AQ、BQ分別為∠DAC、∠EBC的平分線所在直線，試探究∠C與∠AQB的數量關系；

（3）如圖③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接寫出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．

Answer 1

【答案】（1）100°（2）2∠AQB＋∠C＝180°（3）1：2：2

【解析】

（1）過點C作CF∥AD，則CF∥BE，根據平行線的性質可得出∠ACF＝∠A、∠BCF＝180°∠B，將其代入∠ACB＝∠ACF＋∠BCF即可求出∠ACB的度數；

（2）過點Q作QM∥AD，則QM∥BE，根據平行線的性質、角平分線的定義可得出∠AQB＝（∠CBE∠CAD），結合（1）的結論可得出2∠AQB＋∠C＝180°；

（3）由（2）的結論可得出∠CAD＝∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD＋∠CBE＝180°②，聯立①②可求出∠CAD、∠CBE的度數，再結合（1）的結論可得出∠ACB的度數，將其代入∠DAC：∠ACB：∠CBE中可求出結論．

（1）在圖①中，過點C作CF∥AD，則CF∥BE．

∵CF∥AD∥BE，

∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180°∠B，

∴∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝180°（∠B∠A）＝120°．

（2）在圖②中，過點Q作QM∥AD，則QM∥BE．

∵QM∥AD，QM∥BE，

∴∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ．

∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，

∴∠NAD＝∠CAD，∠EBQ＝∠CBE，

∴∠AQB＝∠BQM∠AQM＝（∠CBE∠CAD）．

∵∠C＝180°（∠CBE∠CAD）＝180°2∠AQB，

∴2∠AQB＋∠C＝180°．

（3）∵AC∥QB，

∴∠AQB＝∠CAP＝∠CAD，∠ACP＝∠PBQ＝∠CBE，

∴∠ACB＝180°∠ACP＝180°∠CBE．

∵2∠AQB＋∠ACB＝180°，

∴∠CAD＝∠CBE．

又∵QP⊥PB，

∴∠CAP＋∠ACP＝90°，即∠CAD＋∠CBE＝180°，

∴∠CAD＝60°，∠CBE＝120°，

∴∠ACB＝180°（∠CBE∠CAD）＝120°，

∴∠DAC：∠ACB：∠CBE＝60°：120°：120°＝1：2：2．