Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為1，點P在射線BC上（異于點B、C），直線AP與對角線BD及射線DC分別交于點F、Q．

（1）若BP=，求∠BAP的度數(shù)；

（2）若點P在線段BC上，過點F作FG⊥CD，垂足為G，當△FGC≌△QCP時，求PC的長；

（3）以PQ為直徑作⊙M．

①判斷FC和⊙M的位置關(guān)系，并說明理由；

②當直線BD與⊙M相切時，直接寫出PC的長．

Answer 1

【答案】（1）∠BAP=30°；（2）；（3）①FC與⊙M相切；②PC=或．

【解析】

試題分析：（1）在直角△ABP中，利用特殊角的三角函數(shù)值求∠BAP的度數(shù)；

（2）設(shè)PC=x，根據(jù)全等和正方形性質(zhì)得：QC=1﹣x，BP=1﹣x，由AB∥DQ，得，代入列方程求出x的值，因為點P在線段BC上，所以x＜1，寫出符合條件的PC的長；

（3）①如圖2，當點P在線段BC上時，F(xiàn)C與⊙M相切，只要證明FC⊥CM即可，先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線得CM=PM，則∠MCP=∠MPC，從而可以得出∠MCP+∠BAP=90°，再證明△ADF≌△CDF，得∠FAD=∠FCD，則∠BAP=∠BCF，所以得出∠MCP+∠BCF=90°，F(xiàn)C⊥CM；

如圖3，當點P在線段BC的延長線上時，F(xiàn)C與⊙M相切，同理可得∠MCD+∠FCD=90°，則FC⊥CM，F(xiàn)C與⊙M相切；

②當點P在線段AB上時，如圖4，設(shè)⊙M切BD于E，連接EM、MC，設(shè)∠Q=x，根據(jù)平角BFD列方程求出x的值，作AP的中垂線HN，得∠BHP=30°，在Rt△BHP中求出BP的長，則得出PC=；當點P在點C的右側(cè)時（即在線段BC的延長線上），如圖5，同理可得：PC=．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABP=90°，∴tan∠BAP==，∵tan30°=，∴∠BAP=30°；

（2）如圖1，設(shè)PC=x，則BP=1﹣x，∵△FGC≌△QCP，∴GC=PC=x，DG=1﹣x，∵∠BDC=45°，∠FGD=90°，∴△FGD是等腰直角三角形，∴FG=DG=CQ=1﹣x，∵AB∥DQ，∴，∴，∴，解得：x1=＞1（舍去），x2=，∴PC=；

（3）①如圖2，當點P在線段BC上時，F(xiàn)C與⊙M相切，理由是：

取PQ的中點M，以M為圓心，以PQ為直徑畫圓，連接CM，∵∠PCQ=90°，PQ為直徑，∴點C是圓M上，∵△PCQ為直角三角形，∴MC=PM，∴∠MCP=∠MPC，∵∠APB=∠MPC，∴∠MCP=∠APB，∵∠APB+∠BAP=90°，∴∠MCP+∠BAP=90°，∵AD=DC，∠ADB=∠CDB，F(xiàn)D=FD，∴△ADF≌△CDF，∴∠FAD=∠FCD，∵∠BAP+∠FAD=∠BCF+∠FCD，∴∠BAP=∠BCF，∴∠MCP+∠BCF=90°，∴FC⊥CM，∴FC與⊙M相切；

如圖3，當點P在線段BC的延長線上時，F(xiàn)C與⊙M也相切，理由是：

取PQ的中點M，以M為圓心，以PQ為直徑畫圓，連接CM，同理得∠AQD=∠MCQ，點C是圓M上，∵AD=DC，∠BDA=∠CDB=45°，DF=DF，∴△ADF≌△CDF，∴∠FAD=∠FCD，∵∠AQD+∠FAD=90°，∴∠MCD+∠FCD=90°，∴FC⊥MC，∴FC與⊙M相切；

②當點P在線段AB上時，如圖4，設(shè)⊙M切BD于E，連接EM、MC，∴∠MEF=∠MCF=90°，∵ME=MC，MF=MF，∴△MEF≌△MCF，∴∠QFC=∠QFE，∵∠BAP=∠Q=∠BCF，設(shè)∠Q=x，則∠BAP=∠BCF=x，∠QFE=∠QFC=45°+x，∠DFC=45°+x，∵∠QFE+∠QFC+∠DFC=180°，∴3（45+x）=180，x=15，∴∠Q=15°，∴∠BAP=15°，作AP的中垂線HN，交AB于H，交AP于N，∴AH=AP，∴∠BHP=30°，設(shè)BP=x，則HP=2x，HB=x，∴2x+x=1，x=，∴PC=BC﹣BP=1﹣（）=；

當點P在點C的右側(cè)時（即在線段BC的延長線上），如圖5，同理可得：PC=；

綜上所述：PC=或．