Question

16、如圖，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一點，BP的延長線交⊙O于點Q，點R在OA的延長線上，且RP=RQ．
（1）求證：RQ是⊙O的切線；
（2）求證：OB²=PB•PQ+OP²；
（3）當RA≤OA時，試確定∠B的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要證明RQ是⊙O的切線只要證明∠OQR=90°即可；
（2）先證明△BCP∽△AQP，從而得到PB•PQ=PC•PA，整理即可得到OB²=PB•PQ+OP²；
（3）分別考慮當RA=OA時或與A重合時，∠B的度數，從而確定其取值范圍．

解答：證明：（1）連接OQ；
∵OB=OC，PR=RQ；
∴∠OBP=∠OQP，∠RPQ=∠RQP；
∵∠OBP+∠BPO=90°，∠BPO=∠RPQ；
∴∠OQP+∠RQP=90°；
即∠OQR=90°，
∴RQ是⊙O的切線．

證明：（2）延長AO⊙O交于點C；
∵∠BPC=∠QPA，∠BCP=∠AQP，
∴△BCP∽△AQP，
∴PB•PQ=PC•PA=（OC+OP）（OA-OP）=（OB+OP）（OB-OP）=OB²-OP²，
∴OB²=PB•PQ+OP²．

解：（3）當RA=OA時，∠R=30°，易得∠B=15°，當R與A重合時，∠B=45°；
∵R是OA延長線上的點，
∴R與A不重合，
∴∠B≠45°；
又∵RA≤OA，
∴∠B＜45°，
∴15°≤B＜45°．

點評：此題考查了學生對切線的判定及相似三角形的判定等知識點的綜合運用．