Question

【題目】（1）如圖1，若點A坐標為（x1，y1），點B坐標為（x2，y2），作AD⊥x軸于點D，BE⊥y軸于點E，AD與BE相交于點C，則有AC＝|y1﹣y2|，BC＝|x1﹣x2|，所以，A、B兩點間的距離為AB＝．

根據結論，若M、N兩點坐標分別為（1，4）、（5，1），則MN＝　 　（直接寫出結果）．

（2）如圖2，直線y＝kx+1與y軸相交于點D，與拋物線y＝x2相交于A，B兩點，A點坐標為（4，a），過點A作y軸的垂線交y軸于點C，E是AC中點，點P是第一象限內直線AB下方拋物線上一動點，連接PE、PD、ED；

①a＝　 　，k＝　 　，AD＝　 　（直接寫出結果）．

②若△DEP是以DE為底的等腰三角形，求點P的橫坐標；

③求四邊形CDPE的周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）5（2）①4，，5② ③5+

【解析】

（1）利用題目提供的兩點間距離公式即可求解；

（2）①將點A的坐標代入二次函數表達式得：a＝×42＝4，則點A坐標為（4，4），將點A的坐標代入一次函數表達式得k＝，即可求解；

②利用PD＝PE，整理得：3x2+8x﹣38＝0，即可求解；

③在y軸上，截取CD′＝CD，連接D′E并延長交拋物線于點P，則此時，四邊形CDPE的周長最小，最小值＝CD+CE+PD′＝5+PD′，即可求解．

（1）MN＝＝5，

故答案為5；

（2）①將點A的坐標代入二次函數表達式得：a＝×42＝4，則點A坐標為（4，4），點E的坐標為（2，4），

將點A的坐標代入一次函數表達式得：4＝4k+1，解得k＝，

∵CD＝3，CE＝4，

∴AD＝5，

故：答案為：4，，5；

②設點P的橫坐標為x，即點P坐標為（x， x2），點D、E的坐標分別為（0，1）、（2，4），

由題意得：PD＝PE，即：PD2＝PE2，

x2+＝（x﹣2）2+（x2﹣4）2，整理得：3x2+8x﹣38＝0，

解得：x＝（負值已舍去），

即點P的橫坐標為；

③在y軸上，截取CD′＝CD，連接D′E并延長交拋物線于點P，則此時，四邊形CDPE的周長最小，

DE+PE＝PD′，點D′的坐標為（7，0），

四邊形CDPE的周長最小值＝CD+CE+PD′＝5+PD′，

直線D′E的表達式為：y＝kx+7，把點E的坐標代入上式得：4＝2k+7，解得：k＝﹣，

則直線D′E的表達式為：y＝﹣x+7，

將該表達式與二次函數表達式聯立并求解得：x＝﹣3，即點P的坐標為（﹣3，），

則PD′＝＝，

四邊形CDPE的周長最小值＝5+．

故答案為：（1）5（2）①4，，5② ③5+ .