Question

如圖，在□ABCD中，AB=4，AD=6，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE，垂足為G，BG=．

（1）求AE的長；  （2）求ΔCEF的周長和面積．

Answer 1

（1）AE=4；（2）△CEF的周長=6，△CEF的面積=．

試題分析：（1）由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得內錯角∠DAE=∠BEA，等量代換后可證得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根據等腰三角形“三線合一”的性質得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的長；
（2）首先證明△ABE∽△FCE，再分別求出△ABE的周長和面積，然后根據相似比等于周長比，面積比等于相似比的平方即可得到答案．
試題解析：（1）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE；
又∵AD∥BC，
∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，
∴AB=BE=4，
∵BG⊥AE，垂足為G，
∴AE=2AG．
在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=4，BG=2，
∴AG==2，
∴AE=2AG=4；
（2）∵BE=4，BC=AD=6，
∴CE=BC﹣BE=6﹣4=2，
∴BE：CE=4：2=2：1．
∵AB∥FC，
∴△ABE∽△FCE，
∴△ABE的周長：△CEF的周長=BE：CE=2：1，
△ABE的面積：△CEF的面積=（BE：CE）²=4：1，
∵AB=BE=4，AE=4，BG=2，
∴△ABE的周長=4+4+4=12，△ABE的面積=×4×2=4，
∴△CEF的周長=6，△CEF的面積=．