Question

【題目】如圖 ，CE 平分∠ACD，AE 平分∠BAC，∠EAC+∠ACE＝90°．

（1）請判斷 AB 與 CD 的位置關系，并說明理由；

（2）如圖，在（1）的結論下，當∠E＝90°保持不變時，移動直角頂點 E，使∠MCE＝∠ECD， 當直角頂點 E 點移動時，請確定∠BAE 與∠MCD 的數量關系，并說明理由；

（3）如圖，在（1）的結論下，P 為線段 AC 上的一個定點，點 Q 為直線 CD 上的一個動點，當點 Q 在射線 CD 上運動時（點 C 除外）∠BAC 與∠CPQ+∠CQP 有何數量關系？為什么？

Answer 1

【答案】（1）AB∥CD，理由見解析；（2）∠BAE+∠MCD =90°，理由見解析；（3）∠BAC =∠CPQ+∠CQP，理由見解析

【解析】

（1）根據角平分線定義得出∠ACD=2∠ACE，∠BAC=2∠EAC，求出∠ACD+∠BAC=180°，根據平行線的判定即可得出結論；
（2）作EF∥AB，易得EF∥CD∥AB，根據平行線的性質得出∠BAE=∠AEF， ∠FEC=∠ECD，再由∠AEF+∠FEC=90°，通過等量代換后即可得出結論；
（3）作PM∥AB，易得PM∥CD∥AB，根據平行線的性質得出∠BAC=∠MPC，∠MPQ=∠CQP，由∠MPC=∠MPQ+∠CPQ，通過等量代換后即可得出結論．

（1）AB∥CD，理由如下：

∵CE 平分∠ACD，AE 平分∠BAC，

∴∠ACD=2∠ACE，∠BAC=2∠EAC，

又∵∠EAC+∠ACE＝90°

∴∠ACD+∠BAC=2（∠ACE+∠EAC）=180°

∴AB∥CD

（2）∠BAE+∠MCD =90°，理由如下：

如圖所示，作EF∥AB，

∵AB∥CD

∴EF∥CD∥AB

∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠ECD

∵∠E=90°，即∠AEF+∠FEC=90°

∴∠BAE+∠ECD=90°

又∵∠MCE＝∠ECD

∴∠ECD=∠MCD

∴∠BAE+∠MCD =90°

（3）∠BAC =∠CPQ+∠CQP，理由如下：

如圖所示，作PM∥AB，

∵AB∥CD

∴PM∥CD∥AB

∴∠BAC=∠MPC，∠MPQ=∠CQP，

又∵∠MPC=∠MPQ+∠CPQ，

∴∠BAC=∠MPC=∠CQP+∠CPQ

即∠BAC =∠CPQ+∠CQP