Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，直線EF分別交兩直角邊AB、BC與E、F兩點(diǎn)，且EF∥AC，P是斜邊AC的中點(diǎn)，連接PE，PF，且AB=，BC=．

（1）當(dāng)E、F均為兩直角邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形EPFB是矩形，并求出此時(shí)EF的長；

（2）設(shè)EF的長度為x（x＞0），當(dāng)∠EPF=∠A時(shí)，用含x的代數(shù)式表示EP的長；

（3）設(shè)△PEF的面積為S，則當(dāng)EF為多少時(shí)，S有最大值，并求出該最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，EF=1;

（2）∴EP=．

（3）∴當(dāng)EF=1時(shí)，S有最大值為．

【解析】試題分析：（1）先求出四邊形EPFB是平行四邊形，再由∠B=90°得出四邊形EPFB是矩形，利用勾股定理求出EF．

（2）證明△APE∽△PEF，得出對應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)果．

（3）作FH⊥AC交AC于點(diǎn)H，設(shè)EF=x，得出BF，CF及FH的值，再利用三角形面積求出EF及最大值，利用中位線定理即可求出EP的值．

試題解析：（1）如圖1，

∵E是AB的中點(diǎn)，P是AC的中點(diǎn)，

∴EP∥BC，且EP=BC，

∵F是BC的中點(diǎn)，

∴EP∥BF，且EP=BF，

四邊形EPFB是平行四邊形，

∵∠B=90°，

∴四邊形EPFB是矩形，

（2）∵AB=，BC=．

∴BE=，BF=，

∴EF==1．

（2）∵EF∥AC，

∴∠APE=∠PEF，∵∠EPF=∠A，

∴△APE∽△PEF．

∴，

∵AP=1，EF=x，

∴EP2=x，

∴EP=．

（3）如圖2，作FH⊥AC交AC于點(diǎn)H，

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC，

設(shè)EF=x，則BF=x，CF=﹣x，

∴FH=CF=﹣x，

∴S=EFFH=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，

∴當(dāng)x=1，即EF=1時(shí)，S有最大值為．