Question

【題目】如圖，平面直角坐標系xOy中，已知點A(0，3)，點B(，0)，連接AB．若對于平面內一點C，當△ABC是以AB為腰的等腰三角形時，稱點C是線段AB的“等長點”．

（1）在點C1(－2，)，點C2(0，－2)，點C3(，)中，線段AB的“等長點”是點 ；

（2）若點D(m，n)是線段AB的“等長點”，且∠DAB＝60°，求m和n的值；

（3）若直線上至少存在一個線段AB的“等長點”，直接寫出k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）C1，C3 ；（2）m＝，n＝0或m＝，n＝3．（3）

【解析】分析：（1）直接利用線段AB的“等長點”的條件判斷；

（2）分兩種情況討論，利用對稱性和垂直的性質即可求出m，n；

（3）先判斷出直線y=kx+3與圓A，B相切時，如圖2所示，利用相似三角形的性質即可求出結論

本題解析:

（1）C1，C3

（2）如圖①，∵點D(m，n)是線段AB的“等長點”，且∠DAB＝60°，

∴△ABD是等邊三角形．∵OA＝3，

OB＝，∠AOB＝90°，∴tan∠ABO＝ ，

∴∠ABO＝60°，∠BAO＝30°，

∴點D在x軸上，且DB＝AB＝2，

∴m＝-，n＝0．

如圖②，同理可知△ABD是等邊三角形，∵∠DAB＝60°，∠BAO＝30°，∴∠DAO＝90°，又∵DA＝AB＝2，

∴m＝2，n＝3．

綜上所述，m＝-，n＝0或m＝2，n＝3．

（3）如圖2,∵直線y=kx+3k=k(x+3)，

∴直線y=kx+3k恒過一點P(3,0)，

∴在Rt△AOP中,OA=3,OP=3，

∴∠APO=30°，

∴∠OPA=60°，

∴∠BAP=90°，

當PF與⊙B相切時交y軸于F，

∴PA切⊙B于A，

∴點F就是直線y=kx+33√k與⊙B的切點，

∴F(0,3)，

∴33√k=3，

∴k=3√3，

當直線y=kx+3k與⊙A相切時交y軸于G切點為E,∴∠AEG=∠OPG=90°，

∴△AEG∽△POG，

∴，

∴，

∴k= (舍)或k=，

∵直線y=kx+3k上至少存在一個線段AB的“等長點”，

∴.