Question

【題目】如圖一條拋物線（a≠0）與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”．

（1）“拋物線三角形”一定是_______________三角形；

（2）若拋物線y=－x2+bx（b＞0）的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求b的值；

（3）如圖，△OAB是拋物線y=－x2+b′x（b′＞0）的“拋物線三角形”，是否存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD？若存在，求出過O、C、D三點的拋物線的表達式；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）等腰；（2）b=2；（3）y=x+2x．

【解析】試題分析：(1)、根據拋物線的性質可得三角形為等腰三角形；(2)、首先根據y=0求出點B的坐標，然后根據等腰三角形的性質求出b的值；(3)、首先作△OCD和△OAB成中心對稱圖形，根據矩形的性質求出OE和OA的長度，然后根據三角形的性質求出b′的值，根據b′的值求出點C、D的坐標，最后利用待定系數法求出函數解析式.

試題解析：(1)、等腰

(2)、當y=0時，－x+bx=0 解得：=0，=b ∴B（b,0），即：OB=b

∵拋物線y=－x+bx的頂點A的坐標為（，）， 且“拋物線三角形”是等腰直角三角形

∴=解得：=0（舍去），=2 ∴b的值為2

(3)、存在， 如圖，作△OCD與△OAB關于原點O成中心對稱，

則四邊形ABCD是平行四邊形，當OA=OB時，四邊形ABCD為矩形

∵OA=OB，OA=AB ∴△OAB是等邊三角形 過點A作AE⊥OB于E，則∠OAE=30°，OE=

∴OA=∵頂點A（，）， ∴=

解得：=0（舍去），=2∴A（，3），B（2，0)

∴C（－，－3），D（－2，0）

設過C、D、O的解析式為y=ax+mx（a≠0），則解得：

∴所求拋物線的解析式為y=x+2x.