Question

【題目】如圖，直角三角形與直角三角形的斜邊在同一直線上，，，平分，將繞點按逆時針方向旋轉，記為，在旋轉過程中：

（1）如圖，當______時，，當______時，；

（2）如圖，當頂點在內部時，邊、分別交、的延長線于點、，記，．

①與度數的和是否變化？若不變，求出與度數和；若變化，請說明理由；

②若使得，求出、的度數，并直接寫出此時的度數．

Answer 1

【答案】(1)10°，100°；(2)①不變，詳見解析；②80°．

【解析】

(1)當∠EDA＝∠B＝40°時，DE∥BC，得出 30°+α＝40°，即可得出結果；當 DE∥AC 時，DE⊥AB，得出 50°+α+30°＝180°，即可得出結果；

(2)①連接 MN，由三角形內角和定理得出∠CNM+∠CMN+∠MCN＝180°，則∠CNM+∠CMN＝90°，由三角形內角和定理得出∠DNM+∠DMN+∠MDN＝180°，即∠2+∠CNM+∠CMN+∠1+∠MDN＝180°，即可得出結論；②根據①中結論結合本題題意可以得出度數，即可求出度數．

解：（1）∵∠B＝40°，

∴當∠EDA＝∠B＝40°時，DE∥BC， 而∠EDF＝30°，

∴30°+α＝40°，

解得：α＝10°；

當 DE∥AC 時，DE⊥AB， 此時∠A+∠EDA＝180°， ∠A＝90°－∠B＝50°，

∴50°+α+30°＝180°， 解得：α＝100°；

故答案為 10°，100°；

（2）①∠1 與∠2 度數的和不變；理由如下：

連接 MN，如圖所示：

在△CMN 中，∵∠CNM+∠CMN+∠MCN＝180°，

∴∠CNM+∠CMN＝90°， 在△MND 中，

∵∠DNM+∠DMN+∠MDN＝180°， 即∠2+∠CNM+∠CMN+∠1+∠MDN＝180°，

∴∠1+∠2＝180°－90°－30°＝60°．

②∵，

∴，．

∴．