Question

【題目】如圖a，在平面直角坐標系中，A、B坐標分別為（6，0），（0，6），P為線段AB上的一點.

(1) 如圖a，若三角形OAP的面積是12，求點P的坐標；

(2）如圖b，若P為AB的中點，點M，N分別是OA，OB邊上的動點，點M從頂點A，點N從頂點O同時出發，且它們的速度都為1cm/s，則在M，N運動的過程中，線段PM，PN之間有何關系？并證明；

(3)如圖c，若P為線段AB上異于A，B的任意一點，過B點作BD⊥OP，交OP，OA分別于F，D兩點，E為OA上一點，且∠PEA=∠BDO，試判斷線段OD與AE的數量關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）P（2，4）；（2）PM＝PN，且PM⊥PN，證明見解析；（3）OD=AE，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）根據點的坐標以及三角形的面積即可求得；

（2）連接OP，證明△NOP≌△MAP，根據全等三角形的對應邊相等、對應角相等可得PN=PM，∠OPN=∠APM，從而可得PM與PN的位置關系；

（3）作AQ⊥AO 交OP延長線于Q，證明△OBD≌△AOQ，△APE≌△APQ，從而即可得.

試題解析：（1）∵A（6，0），B（0，6），∴OA=OB=6，

∴S△AOB=18，

設P的坐標為（xP，yP），

∵=12，

∴，

∵，

∴，

∴P（2，4）；

（2）PM＝PN 且PM⊥PN，

證明如下：

如圖1，連接PO，

在△NOP和△MAP中，

，

∴△NOP≌△MAP，

∴ PN=PM，

且∠OPN=∠APM，

又∵∠APM+∠MPO=90° ，

∴∠OPN+∠MPO=90° ，即∠MPN=90° ，

∴PM⊥PN，

綜上：PM＝PN 且PM⊥PN；

（3）OD=AE，理由：如圖2，

作AQ⊥AO 交OP延長線于Q，

易知∠OBD=∠AOQ，

在△OBD和△AOQ中，

，

∴△OBD≌△AOQ，

∴∠BDO=∠Q=∠PEA，OD=AQ，

易證△APE≌△APQ，

∴ AE=AQ=OD，

∴ OD=AE．