Question

【題目】在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=10cm，等腰直角三角形DEF的頂點D為AB的中點．
（1）如圖（1）所示，DE⊥AC于M，BC⊥DF于N，則DM與DN在數量上有什么關系？兩個三角形重疊部分的面積是多少？

（2）在（1）的基礎上，將三角形DEF繞著點D旋轉一定的角度，且AC與DE相交于M，BC與DF相交于N，如圖（2），則DM與DN在數量上有什么關系？兩個三角形重疊部分的面積是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接DC，

∵AC=BC，D為AB的中點，∠ACB=90°，

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠A=∠B=45°，

∴∠A=∠DCN，AD=DC，

∵DM⊥AC，DN⊥BC，

∴∠DMA=∠DNC，

∴△ADM≌△CDN（AAS），

∴DM=DN，

則S重疊=S△DNC+S△DMC=S△DMA+S△DMC=S△ADC= S△ABC= × ×1×1= （cm2）

（2）

解：連接CD，則CD⊥AB，∠A=∠DCB=45°，AD=CD，

∵∠ADM+∠MDC=∠MDC+∠CDF=90°，

∴∠ADM=∠CDN，

∴△AMD≌△CND（ASA），

∴DM=DN，

同（1）可得S重疊= S△ABC= × ×1×1= （cm2）

【解析】（1）連接DC，由等腰直角三角形ABC及D為AB中點，利用三線合一得到CD垂直于AB，及兩對角相等，利用AAS得到三角形ADM與三角形CDN全等，利用全等三角形對應邊相等得到DM=DN，重疊部分面積等于三角形DNC與三角形DMC面積之和，等量代換等于三角形ADC面積，即為三角形ABC面積一半，求出即可；（2）連接DC，由等腰直角三角形ABC及D為AB中點，利用三線合一得到CD⊥AB，∠A=∠DCB=45°，AD=CD，利用同角的余角相等得到∠ADM=∠CDN，利用ASA得到三星級AMD與三角形CDN全等，利用全等三角形對應邊相等得到DM=DN，同（1）求出重疊部分面積即可．