Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE∥BD，過點D作ED∥AC，兩線相交于點E．

（1）求證：四邊形AODE是菱形；
（2）連接BE，交AC于點F．若BE⊥ED于點E，求∠AOD的度數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AE∥BD，ED∥AC，

∴四邊形AODE是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OC= AC，OB=OD= BD，AC=BD，

∴OA=OC=OD，

∴四邊形AODE是菱形

（2）解：連接OE，如圖所示：

由（1）得：四邊形AODE是菱形，

∴AE=OB=OA，

∵AE∥BD，

∴四邊形AEOB是平行四邊形，

∵BE⊥ED，ED∥AC，

∴BE⊥AC，

∴四邊形AEOB是菱形，

∴AE=AB=OB，

∴AB=OB=OA，

∴△AOB是等邊三角形，

∴∠AOB=60°，

∴∠AOD=180°﹣60°=120°．

【解析】（1）先證明四邊形AODE是平行四邊形，再由矩形的性質得出OA=OC=OD，即可得出四邊形AODE是菱形；（2）連接OE，由菱形的性質得出AE=OB=OA，證明四邊形AEOB是菱形，得出AB=OB=OA，證出△AOB是等邊三角形，得出∠AOB=60°，再由平角的定義即可得出結果