Question

【題目】①如圖，四邊形ABCD中，對角線相交于點O，E、F、G、H分別是AD，BD，BC，AC的中點．

（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）當四邊形ABCD滿足一個什么條件時，四邊形EFGH是菱形？并證明你的結論；

②如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為BC中點，CE⊥AD于E，BF∥AC，交CE的延長線與點F．求證：AB垂直平分DF．

Answer 1

【答案】①(1)見解析;(2)見解析; ②見解析.

【解析】

①（1）由三角形中位線知識可得EF＝GH，EF∥GH，繼而可得四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）要是菱形，只需增加相鄰兩邊相等，如要得到EF＝GF，由中位線知識，只須AB＝CD．

②由FB∥AC，∠ACB＝90°可得∠FBC＝90°，繼而可得∠DBA＝45°，通過證明Rt△ADC≌Rt△FBC，可得DB＝FB，繼而可證得答案.

①（1）∵E、F分別是AD、BD中點，

∴EF∥AB，EF＝AB，

同理GH∥AB，GH＝AB，

∴EF＝GH，EF∥GH，

∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）當四邊形ABCD滿足AB＝CD時，四邊形EFGH是菱形，證明如下：

∵F、G分別是BD、BC中點，∴GF＝CD，

∵AB＝CD，∴EF＝GF，

又∵四邊形EFGH是平行四邊形，

∴四邊形EFGH是菱形；

②∵∠ACB＝90°，Rt△ADC中，∠1+∠2＝90°，

∵AD⊥CF，在Rt△EDC中，∠3+∠2＝90°，得：∠1＝∠3，

∵FB∥AC，∠ACB＝90°，∴∠FBC＝90°，得：△FBC是直角三角形，

∵AC＝BC，∠1＝∠3，△FBC是直角三角形，

∴Rt△ADC≌Rt△FBC，

∴CD＝FB，∵CD＝DB，∴DB＝FB，

∵AC＝BC、∠ACB＝90°，∴∠4＝45°，∴AB是∠CBF平分線，

所以，AB垂直平分DF（等腰三角形中的三線合一定理）．