Question

【題目】（1）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD，請你完成圖形，并證明：BE=CD；（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE，CD，BE與CD有什么數量關系？簡單說明理由；

（3）運用（1）、（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：

如圖3，要測量池塘兩岸相對的兩點B，E的距離，已經測得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）

證明見解析；

（2）BE=CD，理由同（1）；

（3）BE=CD=100米．

【解析】

試題分析：（1）分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點D，連接AD，BD，同理連接AE，CE，如圖所示，由△ABD與△ACE都是等邊三角形，得到三對邊相等，兩個角相等，都為60度，利用等式的性質得到夾角相等，利用SAS得到△CAD與△EAB全等，利用全等三角形的對應邊相等即可得證；

（2）BE=CD，理由與（1）同理；

（3）根據（1）、（2）的經驗，過A作等腰直角△ABD，連接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的長，由題意得到△DBC為直角三角形，利用勾股定理求出CD的長，即為BE的長．

試題解析：（1）完成圖形，如圖所示：

證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，

∵在△CAD和△EAB中，

，

∴△CAD≌△EAB（SAS），

∴BE=CD；

（2）BE=CD，理由同（1），

∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠CAD=∠EAB，

∵在△CAD和△EAB中，

，

∴△CAD≌△EAB（SAS），

∴BE=CD；

（3）由（1）、（2）的解題經驗可知，過A作等腰直角△ABD，∠BAD=90°，

則AD=AB=100米，∠ABD=45°，

∴BD=100米，

連接CD，BD，則由（2）可得BE=CD，

∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，

在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100米，

根據勾股定理得：CD==100米，

則BE=CD=100米．