Question

如圖，已知正方形紙片ABCD的邊長為2，將正方形紙片折疊，使頂點A落在邊CD上的點P處（點P與C、D不重合），折痕為EF，折疊后AB邊落在PQ的位置，PQ與BC交于點G．
（1）觀察操作結果，找到一個與△EDP相似的三角形，并證明你的結論；
（2）當點P位于CD中點時，你找到的三角形與△EDP周長的比是多少？

Answer 1

（1）與△EDP相似的三角形是△PCG．（1分）
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°．
由折疊知∠EPQ=∠A=90°．
∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°．
∴∠2=∠3．
∴△PCG∽△EDP． （2分）

（2）設ED=x，則AE=2-x，
由折疊可知：EP=AE=2-x．
∵點P是CD中點，
∴DP=1．
∵∠D=90°，
∴ED²+DP²=EP²，
即x²+1²=（2-x）²
解得x=

3

4

．
∴ED=

3

4

． （3分）
∵△PCG∽△EDP，
∴

PC

ED

=

1

3 4

=

4

3

．
∴△PCG與△EDP周長的比為4：3． （4分）