Question

（2013•荊門模擬）如圖，已知點A（8，0），sin∠ABO=

4

5

，拋物線經過點O、A，且頂點在△AOB的外接圓上，則此拋物線的解析式為（　　）

• A．y=-

  1

  2

  x2+4x
• B．y=-

  1

  8

  x2+x
• C．y=

  1

  2

  x2-4x或y=-

  1

  8

  x2+x
• D．y=-

  1

  2

  x2+4x或y=

  1

  8

  x2-x

Answer 1

分析：根據圓周角定理以及勾股定理和垂徑定理得出E，F點著的坐標，進而利用頂點式求出拋物線解析式即可．

解答：解：如圖所示：連接AC，過圓心O′作EF⊥OA，
∵∠AOC=90°，∠ABO=∠OCA，
∴

AO

AC

=

4

5

，
∵點A（8，0），
∴AC=10，
根據題意得出：AM=OM=4，AO′=5，
∴MO′=3，∴MF=2，
∴F點坐標為：（4，-2），
設過O，A，F的拋物線解析式為：y=a（x-4）²-2，
將A代入（8，0）得：
0=a（8-4）²-2，
解得：a=

1

8

，
∴此時拋物線解析式為：y=

1

8

（x-4）²-2=

1

8

x²-x，
根據題意得出：AM=OM=4，AO′=5，
∴MO′=3，∴ME=8，
∴E點坐標為：（4，8），
設過O，A，E的拋物線解析式為：y=a（x-4）²+8，
將A代入（8，0）得：
0=a（8-4）²+8，
解得：a=-

1

2

，
∴此時拋物線解析式為：y=-

1

2

（x-4）²+8=-

1

2

x²+x，
故選：D．

點評：此題主要考查了利用頂點式求拋物線解析式以及垂徑定理、圓周角定理、勾股定理的應用，根據已知得出E，F點坐標是解題關鍵．