Question

【題目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中點，E是AD中點，過A作AF∥BC

①求證：△AEF≌△DEB；

②求證：四邊形ADCF是菱形；

③若AB=5，AC=4，求菱形ADCF的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)10.

【解析】分析: ①根據(jù)AAS證△AFE≌△DBE；

②利用①中全等三角形的對應邊相等得到AF＝BD．結合已知條件，利用“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到AD＝DC，從而得出結論．

③由三角形中線的性質和菱形的性質得出△ABD的面積＝△ACD的面積＝△ACF的面積，得出菱形ADCF的面積＝Rt△ABC的面積＝ABAC，即可得出答案．

詳解:

①證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，

∴AE=DE，BD=CD，

在△AEF和△DEB中，，

∴△AEF≌△DEB（AAS）；

②證明：由①知，△AFE≌△DBE，則AF=DB．

∵DB=DC，

∴AF=CD．

∵AF∥BC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，

∴AD=DC=BC，

∴四邊形ADCF是菱形．

③∵D是BC的中點，四邊形ADCF是菱形，

∴△ABD的面積=△ACD的面積=△ACF的面積，

∴菱形ADCF的面積=Rt△ABC的面積=ABAC=×5×4=10．

點睛: 本題考查了全等三角形的性質和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的應用；熟練掌握菱形與平行四邊形的判定，證明三角形全等是解決問題的關鍵．