Question

如圖，在直角坐標系中，⊙M與y軸相切于點C，與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，其中x₁，x₂是方程x²-10x+16=0的兩個根，且x₁＜x₂，連接MC，過A、B、C三點的拋物線的頂點為N．
（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）判斷直線NA與⊙M的位置關系，并說明理由；
（3）一動點P從點C出發，以每秒1個單位長的速度沿CM向點M運動，同時，一動點Q從點B出發，沿射線BA以每秒4個單位長度的速度運動，當P運動到M點時，兩動點同時停止運動，當時間t為何值時，以Q、O、C為頂點的三角形與△PCO相似？

Answer 1

分析：（1）先解方程x²-10x+16=0求出兩根，確定A、B兩點的坐標，再連接AM，過點M作MD⊥AB于D，由垂徑定理得AD=

1

2

AB=3，D點的坐標為（5，0），則⊙M的半徑為5，然后在直角△AMD中，運用勾股定理求出MD的長，得到點C的坐標，最后運用待定系數法即可求出過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）先根據拋物線的解析式求出頂點N的坐標，再分別計算AN、MN，在△AMN中由勾股定理的逆定理可得∠MAN=90°，然后根據切線的判定定理即可判斷直線NA與⊙M相切；
（3）由于0＜t≤5，又t=2時，點Q運動到原點，此時以Q、O、C為頂點的三角形不存在，所以分兩種情況討論：①0＜t＜2，即點Q在x軸正半軸上；②2＜t≤5，即點Q在x軸負半軸上．又因為以Q、O、C為頂點的三角形與△PCO都是直角三角形，則直角頂點O與C對應，每一種情況又分為兩種：（Ⅰ）△QOC∽△PCO；（Ⅱ）△QOC∽△OCP．

解答：解：（1）解方程x²-10x+16=0，得x₁=2，x₂=8，
∴A（2，0），B（8，0）．
連接AM，過點M作MD⊥AB于D，由垂徑定理得AD=

1

2

AB=3，
∴OD=OA+AD=2+3=5，
∴D點的坐標為（5，0）．
∵⊙M與y軸相切于點C，
∴⊙M的半徑AM=CM=OD=5．
在直角△AMD中，∵∠ADM=90°，
∴MD=

AM2-AD2

=4，
∴點C的坐標為（0，4），點M的坐標為（5，4）．
設過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-8），
將點C的坐標（0，4）代入，得4=16a，
解得a=

1

4

，
∴y=

1

4

（x-2）（x-8）=

1

4

x²-

5

2

x+4．
故所求拋物線的解析式為y=

1

4

x²-

5

2

x+4；

（2）直線NA與⊙M相切，理由如下：
連接MN．
∵y=

1

4

x²-

5

2

x+4=y=

1

4

（x²-10x）+4=

1

4

（x-5）²-

9

4

，
∴頂點N的坐標為（5，-

9

4

）．
∵AN²=（5-2）²+（-

9

4

）²=9+

81

16

=

225

16

，
AM²=5²=25，
MN²=（4+

9

4

）²=（

25

4

）²=

625

16

，
∴AN²+AM²=MN²，
∴∠MAN=90°，
又∵點A在⊙M上，
∴直線NA與⊙M相切；

（3）分兩種情況：
①當0＜t＜2，即點Q在x軸正半軸上時，
CP=t，BQ=4t，OQ=OB-BQ=8-4t．
若△QOC∽△PCO，則OQ：CP=OC：CO，
∵OC=CO，
∴OQ=CP，
∴8-4t=t，
解得t=

8

5

；
若△QOC∽△OCP，則OQ：CO=OC：CP，
即（8-4t）：4=4：t，
整理t²-2t+4=0，
∵△=4-16＜0，
∴原方程無解；
②當2＜t≤5，即點Q在x軸負半軸上時，
CP=t，BQ=4t，OQ=BQ-OB=4t-8．
若△QOC∽△PCO，則OQ：CP=OC：CO，
∵OC=CO，∴OQ=CP，
∴4t-8=t，
解得t=

8

3

；
若△QOC∽△OCP，則OQ：CO=OC：CP，
即（4t-8）：4=4：t，
整理t²-2t-4=0，
解得t=1±

5

（負值舍去）．
綜上可知，當t為

8

5

秒

8

3

秒或（1+

5

）秒時，以Q、O、C為頂點的三角形與△PCO相似．

點評：本題考查了二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有一元二次方程的解法，垂徑定理，勾股定理及其逆定理，運用待定系數法求二次函數的解析式，切線的判定，相似三角形的判定．在求有關動點問題時要注意分情況討論，這是解題的關鍵．