Question

【題目】對于平面直角坐標系中的任意一點，給出如下定義：經過點且平行于兩坐標軸夾角平分線的直線，叫做點的“特征線”．例如：點的特征線是和．

（1）若點的其中一條特征線是，則在、、三個點中，可能是點的點有_______；

（2）已知點的平行于第二、四象限夾角平分線的特征線與軸相交于點，直線經過點，且與軸交于點．使的面積不小于6，求的取值范圍；

（3）已知點，，且的半徑為1．當與點的特征線存在交點時，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）且（或者：且）；（3）．

【解析】

（1）畫出圖形，根據點的特征線的定義解決問題即可．

（2）過點P平行于第二四象限角平分線的特征線的解析式為y=-x+b，求出△PAB的面積為6時點B的坐標，再利用待定系數法求直線PB的解析式，結合圖形即可解決問題．

（3）如圖3中，由題意點C的特征線的解析式為y=x-2或y=-x+2，設當⊙T與直線y=-x+2相切于點M時，當⊙T′與直線y=x-2相切于點N時，分別求出OT，OT′結合圖象即可解決問題．

（1）如圖1中，觀察圖象可知，點D2的特征線是y=x+1．

故答案為D2．

（2）如圖2中，

設過點P平行于第二四象限角平分線的特征線的解析式為y=-x+b，

∴1+b=2，

∴b=1，

∴過點P平行于第二四象限角平分線的特征線的解析式為y=-x+1，

∴A（1，0），

當△BPA的面積=6時，AB×2=6，

∴AB=6，

∴B（-5，0）或（7，0），

當y=kx+b′經過P（-1，2），B（-5，0）時，

解得k=，

當直線y=kx+b′經過P（-1，2），B（7，0）時，

，解得k=-，

觀察圖形可知滿足條件的k的值為-≤k≤且k≠0．

（3）如圖3中，由題意點C的特征線的解析式為y=x-2或y=-x+2，

當⊙T與直線y=-x+2相切于點M時，連接TM，

在Rt△TCM中，∵∠TMC=90°，∠MCT=45°，

∴MT=MC=1，

∴TC=TM=，

∴OT=2-，此時t=2-．

當⊙T′與直線y=x-2相切于點N時，推出法可得OT′=2+，此時t=2+，

結合圖象可知滿足條件的t的值為：2-≤≤2+．