Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣2x+c的頂點A在直線l：y=x﹣5上．

（1）求拋物線頂點A的坐標；
（2）設拋物線與y軸交于點B，與x軸交于點C、D（C點在D點的左側），試判斷△ABD的形狀；
（3）在直線l上是否存在一點P，使以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵頂點A的橫坐標為x=﹣ =1，且頂點A在y=x﹣5上，

∴當x=1時，y=1﹣5=﹣4，

∴A（1，﹣4）．

（2）解：△ABD是直角三角形．

將A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，

∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）

當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3

∴C（﹣1，0），D（3，0），

BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，

BD2+AB2=AD2，

∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．

（3）解：存在．

由題意知：直線y=x﹣5交y軸于點E（0，﹣5），交x軸于點F（5，0）

∴OE=OF=5，

又∵OB=OD=3

∴△OEF與△OBD都是等腰直角三角形

∴BD∥l，即PA∥BD

則構成平行四邊形只能是PADB或PABD，如圖，

過點P作y軸的垂線，過點A作x軸的垂線交過P且平行于x軸的直線于點G．

設P（x1，x1﹣5），則G（1，x1﹣5）

則PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|

PA=BD=3

由勾股定理得：

（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4

∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），

存在點P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以點A、B、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形．

【解析】（2）方法二：把A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，得c=﹣3，

∴y=x2﹣2x+3=（x﹣3）（x+1），

∴D（3，0），B（0，﹣3），A（1，﹣4），

KBD= =1，KAB= =﹣1，

∴KBDKAB=﹣1，

∴AB⊥BD，即△ABD為直角三角形．

【考點精析】利用平行線的判定和等腰三角形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知同位角相等，兩直線平行;內錯角相等，兩直線平行;同旁內角互補，兩直線平行；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．