Question

如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知點B坐標為（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷△ABC的形狀，說出△ABC外接圓的圓心位置，并求出圓心的坐標．

Answer 1

（1）；（2）該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為：．

試題分析：（1）該函數解析式只有一個待定系數，只需將B點坐標代入解析式中即可求解；
（2）首先根據拋物線的解析式確定A點、B點、C點坐標，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標．
試題解析：（1）∵點B（4，0）在拋物線的圖象上，∴,∴．∴拋物線的解析式為：；
（2）△ABC為直角三角形．令x=0，得：y=-2，∴C（0，-2），令y=0，得，∴x₁=-1，x₂=4，∴A（-1，0），B（4，0），∴AB=5，AC=5BC=20，∴AC²+BC²=AB²，∴△ABC為直角三角形，∴AB為△ABC外接圓的直徑，∴該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為：．
考點: ①待定系數法求二次函數解析式；②勾股定理逆定理；③三角形的外心