Question

【題目】如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H．

（1）求證：△EAB≌△GAD；
（2）若AB=3 ，AG=3，求EB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD、AGFE是正方形，

∴AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG，

∴∠EAB=∠GAD，

在△AEB和△AGD中，

，

∴△EAB≌△GAD（SAS）

（2）證明：∵△EAB≌△GAD，

∴EB=GD，

∵四邊形ABCD是正方形，AB=3 ，

∴BD⊥AC，AC=BD= AB=6，

∴∠DOG=90°，OA=OD= BD=3，

∵AG=3，

∴OG=OA+AG=6，

∴GD= =3 ，

∴EB=3 ．

【解析】（1）由四邊形ABCD、AGFE是正方形，即可得AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG，然后利用SAS即可證得△EAB≌△GAD，（2）由（1）則可得EB=GD，然后在Rt△ODG中，利用勾股定理即可求得GD的長，繼而可得EB的長．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用正方形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．