Question

【題目】如圖，把△OAB放置于平面直角坐標系xOy中，∠OAB=90°，OA=2，AB=，把△OAB沿x軸的負方向平移2OA的長度后得到△DCE．

（1）若過原點的拋物線y=ax2+bx+c經過點B、E，求此拋物線的解析式；

（2）若點P在該拋物線上移動，當點p在第一象限內時，過點p作PQ⊥x軸于點Q，連接OP．若以O、P、Q為定點的三角形與以B、C、E為定點的三角形相似，直接寫出點P的坐標；

（3）若點M（﹣4，n）在該拋物線上，平移拋物線，記平移后點M的對應點為M′，點B的對應點為B′．當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形M′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2；（2）P（1，）或P （，）；（3）存在，將拋物線向左平移個單位時，四邊形M′B′CD的周長最短，此時拋物線的解析式為y=（x+）2．

【解析】

試題分析：（1）根據平移的性質求得B，E的坐標，然后利用待定系數法即可求得函數的解析式；（2）點P的坐標可設為（x，），因為∠BEC=∠OQP=90°，所以以O、P、Q為頂點的三角形與以B、C、E為頂點的三角形相似時，Q與E一定對應，然后分兩種情況進行討論：（i）△OQP∽△BEC；（ii）△PQO∽△BEC；根據相似三角形對應邊成比例列出比例式，求解即可；（3）左右平移時，使M'D+CB'最短即可，那么作出點M′關于x軸對稱點的坐標為M″，得到直線B″M″的解析式，令y=0，求得相應的點的坐標；進而得到拋物線頂點平移的規律，用頂點式設出相應的函數解析式，把新頂點坐標代入即可.

試題解析：（1）依題意得：B（2，），∵OC=2，CE=，∴E（﹣2，）．

∵拋物線經過原點和點B、E，∴設拋物線的解析式為y=ax2（a≠0）．

∵拋物線經過點B（2，），∴=4a．解得：a=．

∴拋物線的解析式為y=x2；

（2）∵點P在拋物線上，∴設點P的坐標為（x，x2）．

分兩種情況：（i）當△OQP∽△BEC時，則，即 ，解得：x=1，∴點P的坐標為（1，）；

（ii）當△PQO∽△BEC時，則，即，解得：x=，∴點P的坐標為（，）．

綜上所述，符合條件的點P的坐標是P（1，）或P （，）；

（3）存在．

因為線段M′B′和CD的長是定值，所以要使四邊形M′B′CD的周長最短，只要使M′D+CB′最短．

如果將拋物線向右平移，顯然有M′D+CB′＞MD+CB，因此不存在某個位置，使四邊形M′B′CD的周長最短，顯然應該將拋物線 y=x2向左平移．

由題知M（﹣4，6）．設拋物線向左平移了n個單位，則點M′和B′的坐標分別為

M′（﹣4﹣n，6）和B′（2﹣n，）．

因為CD=2，因此將點B′向左平移2個單位得B″（﹣n，）．

要使M′D+CB′最短，只要使M′D+DB″最短．點M′關于x軸對稱點的坐標為M″（﹣4﹣n，﹣6）．

設直線M″B″的解析式y=kx+b（k≠0），點D應在直線M″B″上，

∴直線M″B″的解析式為y=，將B″（﹣n，）代入，求得n=．

故將拋物線向左平移個單位時，四邊形M′B′CD的周長最短，此時拋物線的解析式為y=（x+）2．