Question

【題目】已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點．

（1）直線BF垂直直線CE于點F，交CD于點G（如圖①），求證：AE=CG；

（2）直線AH垂直于直線CE，垂足為點H，交CD的延長線于點M（如圖②），找出圖中與BE相等的線段，并證明．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）首先根據點D是AB中點，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判斷出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG；
（2）根據垂直的定義得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根據AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，進而證明出BE=CM．

(1)證明：因為直線垂直

所以∠CFB=90°，所以∠ECB+∠CBF=90°.

又因為，所以

因為點是的中點，所以

又所以≌，

所以.

因為，所以.

因為∠ACE=∠CBF，∠DCB=∠A，AC=BC，所以△CAE≌△BCG，所以AE=CG.

≌

.

(2)解：BE=CM.證明： 因為 ∠ACB=90°,所以 ∠ACH +∠BCF=90°.

因為 CH⊥AM，即∠CHA=90°,所以 ∠ACH +∠CAH=90°,所以 ∠BCF=∠CAH.

在△BCE與△CAM中,BC=CA ,∠BCF=∠CAH,

由（1）知∠CBE=∠ACM,

所以△BCE≌△CAM.所以BE=CF.