Question

【題目】如圖，已知拋物線 與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），與y軸交于點C，有一寬度為1的刻度尺沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線于點P和點Q，交直線AC于點M和點N，交x軸于點E和點F．

（1）求點A、B、C的坐標；
（2）當點M和點N都在線段AC上時，連接EN，如果點E的坐標為（4，0），求sin∠ANE的值；
（3）在刻度尺平移過程中，當以點P、Q、N、M為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點N的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0得： =0，解得x=5或x=﹣3．

∵點A在點B的右側，

∴點A、B的坐標分為（5，0）、（﹣3，0）．

當x=0時，y=5，

∴點C的坐標為（0，5）

（2）

解：如圖1，作EG⊥AC，垂足為點G．

∵點E的坐標為（4，0），

∴OE=4．

∵OA=OC=5，

∴AE=1，∠OAC=45°．

∴AF=FN=2，GE=AEsin45°=

在Rt△EFN中，依據勾股定理可知NE= = ，

∴sin∠ANE= = =

（3）

解：設直線AC的函數表達式為y=kx+b．

將點A和點C的坐標代入得： ，

解得k=﹣1，b=5．

∴直線AC的函數表達式為y=﹣x+5．

①當MN為邊時，如圖2所示：

設點Q（n， ），

則點P（n+1， ），點N（n，﹣n+5）M（n+1，﹣n+4）．

∵QN=PM

∴ ，解得n=2．

∴點N的坐標為（2，3）．

②當MN是平行四邊形的對角線時，如圖3所示：

設點F的坐標為（m，0），

則N（m，﹣m+5），M（m+1，﹣m+4），

Q（m， ），P（m+1， ）．

∵QN=PM，

∴ ，解得m=2± ．

∴點N的坐標為（2+ ，3﹣ ）或（2﹣ ，3+ ）．

綜上所述，以點P、Q、N、M為頂點的四邊形是平行四邊形時，點N的坐標為（2，3）

或（2+ ，3﹣ ）或（2﹣ ，3+ ）

【解析】（1）利用坐標軸上點的坐標特征即可結論；（2）先確定出AF=FN=2，GE= ，再利用勾股定理求出NE= ，即可得出結論；（3）先確定出直線AC的函數表達式為y=﹣x+5．再分MN為邊和對角線兩種情況，建立方程求解即可得出結論．
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．