Question

【題目】如圖，在△ABP中，C是BP邊上一點，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且交BP于點E．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）過點C作CF⊥AD，垂足為點F，延長CF交AB于點C，若ACAB=12，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接CD，如圖，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ACD=90°，

∴∠CAD+∠D=90°，

∵∠PAC=∠PBA，

∠D=∠PBA，

∴∠CAD+∠PAC=90°，即∠PAD=90°，

∴PA⊥AD，

∴PA是⊙O的切線

（2）解：∵CF⊥AD，

∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，

∴∠ACF=∠D，

∴∠ACF=∠B，

而∠CAG=∠BAC，

∴△ACG∽△ABC，

∴AC：AB=AG：AC，

∴AC2=AGAB=12，

∴AC=2

【解析】（1）連接CD，如圖，利用圓周角定理得到∠CAD+∠D=90°，再∠D=∠PBA，加上∠PAC=∠PBA，所以∠PAD=90°，然后根據切線的判定定理即可得到結論；（2）證明△ACG∽△ABC，再利用相似比得到AC2=AGAB=12，從而得到AC=2 ．