Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=1，BC= ，在AC邊上截取AD=BC，連接BD．

（1）通過計算，判斷AD2與ACCD的大小關系；
（2）求∠ABD的度數．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB=BC=1，BC= ，

∴AD= ，DC=1﹣ = ．

∴AD2= = ，ACCD=1× = ．

∴AD2=ACCD

（2）

解：∵AD=BD，AD2=ACCD，

∴BD2=ACCD，即 ．

又∵∠C=∠C，

∴△BCD∽△ABC．

∴ ，∠DBC=∠A．

∴DB=CB=AD．

∴∠A=∠ABD，∠C=∠D．

設∠A=x，則∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．

∵∠A+∠ABC+∠C=180°，

∴x+2x+2x=180°．

解得：x=36°．

∴∠ABD=36°

【解析】（1）先求得AD、CD的長，然后再計算出AD2與ACCD的值，從而可得到AD2與ACCD的關系；（2）由（1）可得到BD2=ACCD，然后依據對應邊成比例且夾角相等的兩三角形相似證明△BCD∽△ABC，依據相似三角形的性質可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后結合等腰三角形的性質和三角形的內角和定理可求得∠ABD的度數．本題主要考查的是相似三角形的性質和判定、等腰三角形的性質、三角形內角和定理的應用，證得△BCD∽△ABC是解題的關鍵．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定的相關知識，掌握相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）．