Question

【題目】在正方形ABCD中，BD為對角線，點P從A出發，沿射線AB運動，連接PD，過點D作DE⊥PD，交直線BC于點E．

（1）當點P在線段AB上時（如圖1），求證：BP+CE=BD；

（2）當點P在線段AB的延長線上時（如圖2），猜想線段BP、CE、BD之間滿足的關系式，并加以證明；

（3）若直線PE分別交直線BD、CD于點M、N，PM=3，EN=4，求PD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）CE﹣BP=BD，理由見解析（3）3或6

【解析】

試題分析：（1）根據已知和圖形證明△PAD≌△ECD，得到AP=CE，根據AB=BD，得到答案；

（2）與（1）的方法類似，求出結論；

（3）分P在線段AB上和P在AB延長線上兩種情況進行討論，根據三角形全等和勾股定理證明結論．

證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠ADC=∠BCD=∠DCE=90°，AD=CD，

∵DE⊥PD，

∴∠ADC=∠PDE=90°，

∴∠ADP=90°﹣∠PDC=∠CDE，

∴△PAD≌△ECD，

∴AP=CE，

∴BP+CE=BP+AP=AB=BD；

（2）CE﹣BP=BD；

理由：△PAD≌△ECD，

∴CE=AP，

∴CE﹣BP=AP﹣BP=AB=BD；

（3）①當P在線段AB上時，

如圖1所示，在BC上取一點G使得BG=BP，連接MG、NG，

∵△APD≌△CED，

∵AP=CE，PD=ED，

∴△PED是等腰直角三角形，

∴AB=BC=AP+BP=BG+CG，

∴CG=CE，

∴可證△NCG≌△NCE，

∴NG=NE，∠NGC=∠NEC，

∵∠PBM=∠GBM=45°，BP=BG，BM=BM，

∴△BPM≌△BGM

∴PM=GM，∠MGB=∠MPB，

又∠NEC+∠MPB=90°，

∴∠NGC+∠MGB=90°，

∴∠MGN=90°，

∴MN==5，

∴PE=PM+MN+EN=3+5+4=12，

∴PD=PE=6；

②當P在AB延長線上時，

如圖2所示，延長CB至G，使得CG=CE，連接MG、NG，

∵AP=CE，

∴CE﹣BC=CG﹣BC=AP﹣AB=BP=BG，

同①可證△△BMG≌△BMP，△CNG≌△CNE，

∴PM=GM，GN=EN，∠BGM=∠BPM=90°+∠CEN=90°+CGN，

∴∠CGN=∠BGM﹣90°=∠BGM﹣∠MGN，

∴∠MGN=90°，

∴MN==5，

∴PN=MN﹣PM=5﹣3=2，

∴PE=PN+EN=2+4=6，

∴PD=PE=3，

∴PD的長為3或6．