Question

【題目】如圖，正方形ABCD頂點A，D在⊙O上，邊BC經過⊙O上一定P，且PF平分∠AFC，邊 AB，CD分別與⊙O相交于點E，F，連接EF．

（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若FC=2，求PC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OP，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC，

∵PF平分∠AFC，

∴∠AFP=∠PFC，

∵OP=OF，

∴∠AFP=∠OPF，

∴∠PFC=∠OPF，

∴OP∥CD，

∴∠BPO=∠C=90°，

∴OP⊥BC，

∴BC是⊙O的切線；

（2）解：連接AP，∵∠D=90°，∴AF是⊙O的直徑，

∴∠AEF=∠APF=90°，

∴∠BEF=∠B=∠C=90°，

∵OP∥CD，∴OP∥CD∥BA，

∴ ，

∴BP= BC= BA，

∵∠APB+∠FPC=90°，∠PFC+∠FPC=90°，

∴∠APB=∠PFC，

∵∠B=∠C=90°，

∴△APB∽△PFC，

∴ ，∴ ，

∴PC=2FC=4．

【解析】（1）連接OP，依據等腰三角形的性質可證明∠OPF=∠OFP，然后結合角平分線的定義可得到∠OPF=∠PFC，接下來，可證明OP∥FC，最后，平行線的性質可證明OP⊥BC；
（2）連接AP，首先證明△APB∽△PFC，然后再依據相似三角形對應邊成比例列出比例式求解即可.
【考點精析】通過靈活運用正方形的性質，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題．