Question

【題目】已知一次函數y=x+4的圖象與二次函數y=ax（x﹣2）的圖象相交于A（﹣1，b）和B，點P是線段AB上的動點（不與A、B重合），過點P作PC⊥x軸，與二次函數y=ax（x﹣2）的圖象交于點C．

（1）求a、b的值
（2）求線段PC長的最大值；
（3）若△PAC為直角三角形，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（﹣1，b）在直線y=x+4上，

∴b=﹣1+4=3，

∴A（﹣1，3）．

又∵A（﹣1，3）在拋物線y=ax（x﹣2）上，

∴3=﹣a（﹣1﹣2），

解得：a=1．

（2）解：設P（m，m+4），則C（m，m2﹣2m）．

∴PC=（m+4）﹣（m2﹣2m）

=﹣m2+3m+4

=﹣（m﹣ ）2+ ，

∵（m﹣ ）2≥0，

∴﹣（m﹣ ）2+ ≤ ．

∴當m= 時，PC有最大值，最大值為 ．

（3）解：如圖

，

P（m，m+4），C（m，m2﹣2m），

AP2=（m+1）2+（m+4﹣3）2=2（m+1）2，AC2=（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2，PC2=（﹣m2+3m+4）2．

①當AP2+AC2=PC2時，即2（m+1）2+（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2=（﹣m2+3m+4）2，

3（m+1）2+[（m2﹣2m﹣3）2﹣（﹣m2+3m+4）2]=0

化簡，得（m+1）（m+1）（m﹣2）=0，

解得m=﹣1（不符合題意，舍），m=2，

當m=2時，m+4=6，即P（2，6）；

②當AP2=AC2+PC2時，即2（m+1）2=（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2+（﹣m2+3m+4）2，

化簡，得

（m﹣4）（m+1）（m+1）（m﹣3）=0．

解得m=4（不符合題意，舍），m=﹣1（不符合題意，舍），m=3，

當m=3時，m+4=7，

即（3，7），

綜上所述：若△PAC為直角三角形，點P的坐標為P1（2，6），P2（3，7）．

【解析】（1）由A（﹣1，b）在直線y=x+4上，求出b的值，得到A點坐標，再代入二次函數的解析式，求出a的值；（2）由點P在一次函數y=x+4的圖象上得到P點的坐標與C點坐標的代數式，根據兩點間的距離公式得到PC的最大值；（3）由（2）中的P、C點坐標的代數式，再根據勾股定理求出m的值，求出若△PAC為直角三角形，點P的坐標；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認真仔細.