Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于， （在的左側），與軸交于點，拋物線上的點的橫坐標為3，過點作直線軸．

（1）點為拋物線上的動點，且在直線的下方，點，分別為軸，直線上的動點，且軸，當面積最大時，求的最小值；

（2）過（1）中的點作，垂足為，且直線與軸交于點，把繞頂點旋轉45°，得到，再把沿直線平移至，在平面上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形為菱形？若存在直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2），，，

【解析】

（1）根據題意求得點、、、的坐標，進而求得直線和直線解析式．過點作軸垂線交于點，設點橫坐標為，即能用表示、的坐標進而表示的長．由得到關于的二次函數，即求得為何值時面積最大，求得此時點坐標．把點向上平移的長，易證四邊形是平行四邊形，故有．在直線的上方以為斜邊作等腰，則有．所以，其中的長為定值，易得當點、、在同一直線上時，線段和的值最小．又點是動點，，由垂線段最短可知過點作的垂線段時，最短．求直線、解析式，聯立方程組即求得點坐標，進而求得的長．

（2）先求得，，的坐標，可得是等腰直角三角形，當繞逆時針旋轉再沿直線平移可得△，根據以，，，為頂點的四邊形為菱形，可得，，，，即可求得的坐標，當繞順時針旋轉再沿直線平移可得△，根據以，，，為頂點的四邊形為菱形，可得，，即可求得的坐標．

解：（1）如圖1，過點作軸于點，交于點，在上截取，連接，

以為斜邊在直線上方作等腰，過點作于點

時，

時，

解得：，

，

直線解析式為

拋物線上的點的橫坐標為3

，直線

點在軸上，點在直線上，軸

設拋物線上的點，

當時，最大

，

，

，

四邊形是平行四邊形

等腰中，為斜邊

，

當點、、在同一直線上時，最小

設直線解析式為

解得：

直線

設直線解析式為

解得：

直線

解得：

，

最小值為

（2），，

直線解析式為：，

，，

，，是等腰直角三角形，

如圖2，把繞頂點逆時針旋轉，得到△，，，

把△沿直線平移至△，連接，

則直線解析式為，直線解析式為，顯然

以，，，為頂點的四邊形為菱形，不可能為邊，只能以、為鄰邊構成菱形

，

，

，，

如圖3，把繞頂點順時針旋轉