Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，FO⊥AB，垂足為點O，連接AF并延長交⊙O于點D，連接OD交BC于點E，∠B=30°，FO=2 ．
（1）求AC的長度；
（2）求圖中陰影部分的面積．（計算結果保留根號）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OF⊥AB，

∴∠BOF=90°，

∵∠B=30°，FO=2 ，

∴OB=6，AB=2OB=12，

又∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴AC= AB=6

（2）解：∵由（1）可知，AB=12，

∴AO=6，即AC=AO，

在Rt△ACF和Rt△AOF中，

∴Rt△ACF≌Rt△AOF，

∴∠FAO=∠FAC=30°，

∴∠DOB=60°，

過點D作DG⊥AB于點G，

∵OD=6，∴DG=3 ，

∴S△ACF+S△OFD=S△AOD= ×6×3 =9 ，

即陰影部分的面積是9

【解析】（1）解直角三角形求出OB，求出AB，根據圓周角定理求出∠ACB，解直角三角求出AC即可；（2）求出△ACF和△AOF全等，得出陰影部分的面積=△AOD的面積，求出三角形的面積即可．