Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P為圓上一點，點C為AB延長線上一點，PA=PC，∠C=30°．

（1）求證：CP是⊙O的切線．
（2）若⊙O的直徑為8，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OP，如圖所示：

∵PA=PC，∠C=30°，

∴∠A=∠C=30°，

∴∠APC=120°，

∵OA=OP，

∴∠OPA=∠A=30°，

∴∠OPC=120°﹣30°=90°，

即OP⊥CP，

∴CP是⊙O的切線．

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠APB=90°，

∴∠OBP=90°﹣∠A=60°，

∵OP=OB=4，

∴△OBP是等邊三角形，

∴陰影部分的面積=扇形OBP的面積﹣△OBP的面積= ﹣ ×4×2 = ﹣4 ．

【解析】（1）連接OP，由等腰三角形的性質得出∠C=∠OPA=30°，∠APC=120°，求出∠OPC=90°即可；（2）證明△OBP是等邊三角形，陰影部分的面積=扇形OBP的面積﹣△OBP的面積，即可得出結果．本題考查的是切線的判定、等腰三角形的性質、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質、扇形面積公式等知識；熟練掌握切線的判定．證明三角形是等邊三角形是解決問題（2）的關鍵．