Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E為BC的中點，F是CD上一點，且∠AEF=90°，求證：CF= AB．

Answer 1

【答案】證明：設正方形ABCD的邊長為2a，
∵E為BC中點，∴BE=CE=a，
∵∠B=90°，∴AE2=AB2+BE2=5a2 ，
設CF=x，則DF=2a﹣x，由∠C=∠D=90°，
得 AF2=AD2+DF2=4a2+（2a﹣x）2 ， EF2=CE2+CF2=a2+x2 ，
∵∠AEF=90°，∴AF2=AE2+EF2 ，
即 4a2+（2a﹣x）2=5a2+a2+x2 ， 解得x= a，
∴CF= AB
【解析】設正方形ABCD的邊長為2a，由E為BC中點，得到BE=CE=a，根據勾股定理得到AE2=AB2+BE2=5a2 ， 設CF=x，則DF=2a﹣x，由∠C=∠D=90°，根據勾股定理列方程得到4a2+（2a﹣x）2=5a2+a2+x2 ， 解得x= a，于是得到結論．