Question

【題目】已知拋物線y=x2+bx+c（b，c 為常數）與x軸交于點A（﹣1，0），點 B（3，0），與y軸交于點C，其頂點為D，點P（不與點 A，B 重合）為拋物線上的一個動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線PA，PB分別于拋物線的對稱軸交于M，N 兩點，設M，N 兩點的縱坐標分別為y1 ， y2 ， 求y1+y2的值；
（3）連接BC，BD，當∠PAB=∠CBD時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：將A（﹣1，0），B（3，0）代入得： ，

解得：b=﹣2，c=﹣3．

拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3

（2）解：由x=﹣ 得；拋物線的對稱軸為x=1．

設點P的坐標為（a，a2﹣2a﹣3）．

設直線PA的解析式為y=kx+b．

將點P和點A的坐標代入得： ，解得：k=a﹣3，b=a﹣3．

∴直線PA的解析式為y=（a﹣3）x+a﹣3．

將x=1代入得：y1=2a﹣6．

設直線PB的解析式為y=k1x+b1．

將點P和點B的坐標代入得： ，解得：k=a+1，b=﹣3a﹣3．

∴直線PB的解析式為y=（a+1）x﹣3a﹣3．

將x=1代入得：y2=﹣2a﹣2．

∴y1+y2=﹣8．

（3）解：如圖所示：

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線的頂點坐標為（1，﹣4）．

∵將x=0代入拋物線的解析式得；y=﹣3，

∴C（0，﹣3）．

由兩點間的距離公式可知：BC=3 ，DC= ，BD=2 ．

∵BC2+DC2=BD2，

∴△BCD為直角三角形．

∴tan∠CBD= = ．

設點P的坐標為（a，a2﹣2a﹣3）．

∵∠PAB=∠CBD，

∴ = ．

整理得：a﹣3= ．

解得：a=3 或a=2 ．

∴當a=2 時，a+1= ，則a2﹣2a﹣3= =﹣ ．

∴點P的坐標為（ ，﹣ ）．

當a= 時，a+1= ，則a2﹣2a﹣3= = ．

∴點P′的坐標為（ ， ）．

綜上所述，點P的坐標為（ ，﹣ ）或（ ， ）

【解析】（1）用待定系數法，把A（﹣1，0），B（3，0）代入拋物線，求出拋物線的解析式；（2）由拋物線的對稱軸為x=1，得到直線PA的解析式和直線PB的解析式，求出y1+y2的值；（3）由拋物線的解析式得到拋物線的頂點坐標，求出C點坐標，根據兩點間的距離公式求出BC、DC、BD的值，根據勾股定理的逆定理得到△BCD為直角三角形；根據三角函數值求出點P的坐標；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認真仔細.