Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線AC上方，當以A、C、D為頂點的三角形面積最大時，求點D的坐標及此時三角形的面積；
（3）以AB為直徑作⊙M，直線經過點E（﹣1，﹣5），并且與⊙M相切，求該直線的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

由題可得：

，

解得： ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+2；

（2）解：過點D作DH⊥AB于H，交直線AC于點G，如圖2．

設直線AC的解析式為y=kx+t，

則有 ，

解得： ，

∴直線AC的解析式為y= x+2．

設點D的橫坐標為m，則點G的橫坐標也為m，

∴DH=﹣ m2﹣ m+2，GH= m+2，

∴DG=﹣ m2﹣ m+2﹣ m﹣2=﹣ m2﹣m，

∴S△ADC=S△ADG+S△CDG

= DGAH+ DGOH= DGAO=2DG

=﹣ m2﹣2m=﹣ （m2+4m）

=﹣ （m2+4m+4﹣4）

=﹣ [（m+2）2﹣4]

=﹣ （m+2）2+2．

∴當m=﹣2時，S△ADC取到最大值2．

此時yD=﹣ ×（﹣2）2﹣ ×（﹣2）+2=2，

即點D的坐標為（﹣2，2）；

（3）解：設過點E的直線與⊙M相切于點F，與x軸交于點N，連接MF，如圖3，

則有MF⊥EN．

∵A（﹣4，0），B（2，0），

∴AB=6，MF=MB=MA=3，

∴點M的坐標為（﹣4+3，0）即M（﹣1，0）．

∵E（﹣1，﹣5），∴ME=5，∠EMN=90°．

在Rt△MFE中，EF= = =4．

∵∠MEF=∠NEM，∠MFE=∠EMN=90°，

∴△MEF∽△NEM，

∴ = ，

∴ = ，

∴NM= ，

∴點N的坐標為（﹣1+ ，0）即（ ，0）或（﹣1﹣ ，0）即（﹣ ，0）．

設直線EN的解析式為y=px+q．

①當點N的坐標為（ ，0）時，

，

解得： ，

∴直線EN的解析式為y= x﹣ ．

②當點N的坐標為（﹣ ，0）時，

同理可得：直線EN的解析式為y=﹣ x﹣ ．

綜上所述：所求直線的解析式為y= x﹣ 或y=﹣ x﹣ ．

【解析】（1）將已知三點的坐標代入拋物線的解析式可得到關于a、b、c的方程組，從而可求得a、b、c的值；
（2）過點D作DH⊥AB，垂足為H，交直線AC于點G，然后再求得AC的解析式，設點D的橫坐標為m，則點G的橫坐標也為m，從而可以用m的代數式表示出DG，然后用割補法得到△ADC的面積是關于m的二次函數，最后依據二次函數的最值即可；
（3）設過點E的直線與⊙M相切于點F，與x軸交于點N，連接MF，由切線的性質可知：MF⊥EN．然后再求得點M的坐標以及線段ME、MF、EF的長，接下來，再證明△MEF∽△NEM，然后依據相似三角形的性質可求出MN的長度，從而得到點N的坐標，最后，再運用待定系數法求解即可.