Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，點C為半徑OA的中點，過點C作CD⊥OA交弦AB于點E，連接BD，且DE=DB．
（1）判斷BD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若CD=15，BE=10，tanA= ，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OB，

∵OB=OA，DE=DB，

∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD，

又∵CD⊥OA，

∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，

∴∠OBA+∠ABD=90°，

∴OB⊥BD，

∴BD是⊙O的切線

（2）解：如圖，

過點D作DG⊥BE于G，

∵DE=DB，

∴EG= BE=5，

∵∠ACE=∠DGE=90°，∠AEC=∠GED，

∴∠GDE=∠A，

∴△ACE∽△DGE，

∴sin∠EDG=sinA= = ，即CE=13，

在Rt△ECG中，

∵DG= =12，

∵CD=15，DE=13，

∴DE=2，

∵△ACE∽△DGE，

∴ ，

∴AC= DG= ，

∴⊙O的直徑2OA=4AD= ．

【解析】（1）連接OB，由圓的半徑相等和已知條件證明∠OBD=90°，即可證明BD是⊙O的切線；（2）過點D作DG⊥BE于G，根據等腰三角形的性質得到EG= BE=5，由兩角相等的三角形相似，△ACE∽△DGE，利用相似三角形對應角相等得到sin∠EDG=sinA= ，在Rt△EDG中，利用勾股定理求出DG的長，根據三角形相似得到比例式，代入數據即可得到結果． 此題考查了切線的判定，以及相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．