Question

半徑為2cm的與⊙O邊長為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側，⊙O與l相切于點F，DC在l上．

（1）過點B作的一條切線BE，E為切點．

①填空：如圖1，當點A在⊙O上時，∠EBA的度數是　    　；

②如圖2，當E，A，D三點在同一直線上時，求線段OA的長；

（2）以正方形ABCD的邊AD與OF重合的位置為初始位置，向左移動正方形（圖3），至邊BC與OF重合時結束移動，M，N分別是邊BC，AD與⊙O的公共點，求扇形MON的面積的范圍．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）①30°。

②

 （2）

【解析】

試題分析：（1）①根據切線的性質以及直角三角形的性質得出∠EBA的度數即可：

∵半徑為2cm的與⊙O邊長為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側，當點A在⊙O上時，過點B作的一條切線BE，E為切點，

∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°。       

∴∠EBA的度數是：30°。

②利用切線的性質以及矩形的性質和相似三角形的判定和性質得出，進而求出OA即可。

如圖2，

∵直線l與⊙O相切于點F，∴∠OFD=90°。

∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，∴OF∥AD。

∵OF=AD=2，∴四邊形OFDA為平行四邊形。

∵∠OFD=90°，∴平行四邊形OFDA為矩形。∴DA⊥AO。

∵正方形ABCD中，DA⊥AB，O、A、B三點在同一條直線上，∴EA⊥OB。

∵∠OEB=∠AOE，∴△EOA∽△BOE。

∴，即，解得：。

∵OA＞0，∴。

（2）設∠MON=n°，得出，進而利用函數增減性分析①當N，M，A分別與D，B，O重合時，MN最大，②當MN=DC=2時，MN最小，分別求出即可。

如圖3，設∠MON=n°，（cm²）。

∴S隨n的增大而增大，當∠MON取最大值時，S_扇形MON最大，當∠MON取最小值時，S_扇形MON最小。    

過O點作OK⊥MN于K，∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK。

在Rt△ONK中，，

∴∠NOK隨NK的增大而增大。

∴∠MON隨MN的增大而增大。

∴當MN最大時∠MON最大，當MN最小時∠MON最小。

①當N，M，A分別與D，B，O重合時，MN最大，

此時，MN=BD，∠MON=∠BOD=90°，（cm²）。

②當MN=DC=2時，MN最小，

此時，ON=MN=OM。∴∠NOM=60°。（cm²）。

∴。