Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，經過B、D兩點的⊙O交AB 于點E，交BC于點F，EB為⊙O的直徑．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）當BC=2，cos∠ABC=時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑為．

【解析】（1）連結OD，可證得OD∥BC，得到∠ADO=∠C=90°，從而得出結論；

（2）由cos∠ABC=，得到AB=6，由OD∥BC，得出△AOD∽△ABC，即可求出圓的半徑．

（1）證明：如圖，連結OD．

∴OD=OB．∴∠1=∠2．

∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠3．

∴∠2=∠3．∴OD∥BC．

∴∠ADO=∠C=90°．∴OD⊥AC．

∵OD是⊙O的半徑，

∴AC是⊙O的切線．

（2）解：在Rt△ACB中，∠C=90，BC=2，cos∠ABC=，

∴．

設⊙O的半徑為r，則AO=6﹣r．

∵OD∥BC，

∴△AOD∽△ABC．

∴，∴．

解得．

∴⊙O的半徑為．

“點睛”此題主要考查了切線的判定定理與相似三角形的判定和性質定理，此定理是初中階段非常重要的定理，同學們應正確把握此定理．