Question

【題目】如圖，已知經過點D（2，﹣）的拋物線y=（x+1）（x﹣3）（m為常數，且m＞0）與x軸交于點A、B（點A位于B的左側），與y軸交于點C．
（1）填空：m的值為　　 ， 點A的坐標為；
（2）根據下列描述，用尺規完成作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：連接AD，在x軸上方作射線AE，使∠BAE=∠BAD，過點D作x軸的垂線交射線AE于點E；
（3）動點M、N分別在射線AB、AE上，求ME+MN的最小值；

Answer 1

【答案】
（1）

解: ∵拋物線y=（x+1）（x﹣3）經過點D（2，﹣），

∴m=，

把m=代入y=（x+1）（x﹣3），得y=（x+1）（x﹣3），

即y=x2﹣x﹣；

令y=0，得（x+1）（x﹣3）=0，

解得x=﹣1或3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）

解: 如圖1所示；

（3）

解: 過點D作射線AE的垂線，垂足為N，交AB于點M，設DE與x軸交于點H，如圖2，

由（1）（2）得點D與點E關于x軸對稱，

∴MD=ME，

∵AH=3，DH=，

∴AD=2，

∴∠BAD=∠BAE=30°，

∴∠DAN=60°，

∴sin∠DAN=，

∴sin60°=，

∴DN=3，

∵此時DN的長度即為ME+MN的最小值，

∴ME+MN的最小值為3；

【解析】（1）把點D坐標代入拋物線y=（x+1）（x﹣3），即可得出m的值，再令y=0，即可得出點A，B坐標；
（2）根據尺規作圖的要求，畫出圖形，如圖1所示；
（3）過點D作射線AE的垂線，垂足為N，交AB于點M，此時DN的長度即為ME+MN的最小值；