Question

【題目】如圖，已知點A（0，4），B（2，0）．

（1）求直線AB的函數解析式；
（2）已知點M是線段AB上一動點（不與點A、B重合），以M為頂點的拋物線y=（x﹣m）2+n與線段OA交于點C．
①求線段AC的長；（用含m的式子表示）
②是否存在某一時刻，使得△ACM與△AMO相似？若存在，求出此時m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設直線AB的函數解析式為：y=kx+b．

∵點A坐標為（0，4），點B坐標為（2，0），

∴ ，解得： ，

即直線AB的函數解析式為y=﹣2x+4

（2）

解：①∵以M為頂點的拋物線為y=（x﹣m）2+n，

∴拋物線頂點M的坐標為（m，n）．

∵點M在線段AB上，∴n=﹣2m+4，

∴y=（x﹣m）2﹣2m+4．

把x=0代入y=（x﹣m）2﹣2m+4，

得y=m2﹣2m+4，即C點坐標為（0，m2﹣2m+4），

∴AC=OA﹣OC=4﹣（m2﹣2m+4）=﹣m2+2m；

②存在某一時刻，能夠使得△ACM與△AMO相似．理由如下：

過點M作MD⊥y軸于點D，則D點坐標為（0，﹣2m+4），

∴AD=OA﹣OD=4﹣（﹣2m+4）=2m．

∵M不與點A、B重合，∴0＜m＜2，

又∵MD=m，∴AM= = m．

∵在△ACM與△AMO中，∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，

∴當△ACM與△AMO相似時，假設△ACM∽△AMO，

∴ ，即 ，

整理，得 9m2﹣8m=0，解得m= 或m=0（舍去），

∴存在一時刻使得△ACM與△AMO相似，且此時m= ．

【解析】（1）設直線AB的函數解析式為：y=kx+b，將A、B兩點的坐標代入，運用待定系數法即可求出直線AB的函數解析式；（2）①先由拋物線的頂點式為y=（x﹣m）2+n得出頂點M的坐標為（m，n），由點M是線段AB上一動點，得出n=﹣2m+4，則y=（x﹣m）2﹣2m+4，再求出拋物線y=（x﹣m）2+n與y軸交點C的坐標，然后根據AC=OA﹣OC即可求解；②過點M作MD⊥y軸于點D，則D點坐標為（0，﹣2m+4），AD=OA﹣OD=2m，由勾股定理求出AM= m．在△ACM與△AMO中，由于∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，所以當△ACM與△AMO相似時，只能是△ACM∽△AMO，根據相似三角形對應邊成比例得出 ，即 ，解方程求出m的值即可．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．