Question

【題目】（題文）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，△ABD、△BCE均為等邊三角形，DE、AB交于點F，AF=3，則△ACE的面積為_____．

Answer 1

【答案】6

【解析】

如圖所示，過D作DG⊥AB于G，EK⊥AC交AC的延長線于K，根據等邊三角形的性質、勾股定理、30°角直角三角形的性質可得DG=AG，BC=AC，再證明△ADF≌△GEF，根據全等三角形的性質可得DF=EF，GF=BF，所以FG=，AG=2，即可得AB=4，AC=2，EC=BC=AC=6，在Rt△CEK中，EK=EC=3，根據三角形的面積公式求得S△ACE=ACEK=6．

如圖所示，過D作DG⊥AB于G，EK⊥AC交AC的延長線于K．

∵△ABD是等邊三角形，DG⊥AB，

∴AG=BG=AB，由勾股定理得：DG=AG，

∵∠BAC=30°，

∴AC=AB，

∴AG=AC=AB，

∵由勾股定理得：BC=AC，

∴DG=BC=BE，

∵∠EBA=60°+30°=90°，

∴EB⊥AB．

∴DG∥EB．

∴∠BEF=∠GDF，∠DGB=∠EBF=90°，

在△DGF與△EBF中，

∵，

∴△ADF≌△GEF（AAS），

∴DF=EF，GF=BF，

∵AG=BG，AF=3，

∴FG=，AG=2，

∴AB=4，AC=2，EC=BC=AC=6，

在Rt△CEK中，EK=EC=3，

∴S△ACE=ACEK=23=6．

故答案為6．